Revue africaine de didactique des sciences et des mathématiques
ENS de Nouakchott ENS de Rabat RADISMA IUFM de Lyon FASTEF de Dakar
Précédent   Bas de page   Suivant   Signaler cette page   Version imprimable

Numéro 5 (2010) > Formation de formateurs

Article

Les difficultés rencontrées dans la résolution algébrique des problèmes du premier degré

 Une étude de cas dans le contexte scolaire tunisien


Sonia Ben Nejma, Faculté des Sciences de Bizerte, Tunisie — Laboratoire de didactique André-Revuz (LDAR), Université Paris-Diderot, sonianejma@yahoo.com

Date de publication : 28 septembre 2010

Résumé

La résolution algébrique de problèmes, outil fort puissant de modélisation se révèle une activité difficile pour la plupart des élèves. Les erreurs récurrentes et persistantes au niveau de l’enseignement secondaire interrogent les rapports institutionnels et personnels développés autour de la mise en équation et les choix cruciaux des auteurs de manuels dans le processus de transposition didactique de ce savoir à enseigner. La recherche proposée est réalisée dans le contexte tunisien et s’inspire de l’approche Anthropologique du Didactique. Deux dimensions d’analyse sont prises en compte: une dimension épistémologique relative aux rapports entre arithmétique et algèbre, et une dimension sémiotique liée à la conversion entre registres de représentation sémiotiques, en particulier au changement de la langue d’enseignement qui intervient dans cette transition. Une analyse à la fois qualitative et quantitative montre le refuge des élèves dans des techniques arithmétiques.

Abstract

 This research illustrate the fact of solving word-problems is a problematic activity for students and exam the origins of theses difficulties. Errors which persist in secondary level interrogate the institutional and personal reports developed around the equations and about the nature of the manual proposed problems. This work based on Anthropologic didactic approach, analyze the mathematic organizations installed to modeling problem with equation(s) in Tunisian context. Two dimensions of analyze are considered: Epistemological dimension; which refer to relationship between arithmetic and algebra, and semiotic dimension bound to the change of language (Arabic to French) which appears in the transition to the secondary school. Qualitative and quantitative analyze of student’s productions show their refuge in arithmetic resolution.


Table des matières

Texte intégral

Notre article est proposé sur la base d’une recherche (BEN NEJMA 2004) sur les pratiques algébriques scolaires autour du thème consacré aux équations et à la mise en équation dans la transition au secondaire tunisien. A l’entrée au lycée, les rapports personnels des élèves à ces objets de savoirs sont fortement conditionnés par les rapports institutionnels développés au collège .Ces rapports ont été analysé en mettant en avant les facteurs de difficultés inhérents à la résolution algébrique de problèmes du premier degré .Parmi ces facteurs, la forme linguistique prise par les énoncés de problèmes jouant un rôle important dans le traitement qui est fait par les élèves. Ces derniers ont en leur possession deux langues : l’arabe qui est leur langue maternelle sur laquelle se base l’enseignement des disciplines scientifiques jusqu’en 9ème année de base (fin du collège), et la langue française (première langue étrangère) enseignée dés le niveau de la 3ème année primaire (1e cycle de l’enseignement de base qui devient alors la langue véhiculaire utilisée dans l’enseignement des disciplines scientifiques notamment les mathématiques.

Une analyse praxéologique des programmes officiels et des manuels scolaires (comparaison et évolution) pour ces deux moments de la scolarité, suivie d’une expérimentation dans des classes ordinaires nous a permis d’apporter quelques éléments de réponses aux questions suivantes : Quels sont les rapports institutionnels construits autours de la mise en équations, en fin de collège et au début du lycée ? Comment évoluent les pratiques enseignées autours de cet objet de savoir (équations) lors de cette transition ? Quelle est la place du sémiotique dans le développement de ces pratiques ?

Cette étude s’appuie sur l’utilisation d’outils issus de la théorie anthropologique du didactique (Chevallard, 1989) et se situe au carrefour d’approches multiples et complémentaires en didactique de l’algèbre : les cadres mathématiques (Douady, 1987), La structure multidimensionnelle de la compétence algébrique (Grugeon, 1997) la rupture épistémologique entre l’arithmétique et l’algèbre (Vergnaud,1988, Coulange, 2001) et des approches relatives à l’aspect sémiotique du travail algébrique ou à tendance linguistique en particulier les travaux de Duval (1998) portant sur les registres de représentation sémiotiques .

Auparavant, voici le cadre théorique qui l’a étayée et la méthodologie d’analyse suivie.

La notion de rapport institutionnel à un objet de savoir, renvoie aux pratiques sociales dans l’institution et qui mettent en jeu l’objet en question, soit donc à ce qui se fait dans l’institution avec cet objet (Bosch, Chevallard 1999). Les pratiques mathématiques sont décrites selon le modèle des organisations praxéologiques, en termes de : type de tâches, technique (manière d’accomplir un type de tâches), technologie de la technique (discours descriptif et justificatif des taches et techniques), théorie de la technique (la nécessaire justification de la technologie).

Le rapport personnel d’un individu à un objet de savoir s’établit ou se modifie sous la contrainte des rapports institutionnels à cet objet.

De nombreuses recherches en didactique de l’algèbre ont mis l’accent sur les rapports complexes entre les deux domaines des mathématiques l’arithmétique et l’algèbre. D’une part, l’algèbre prend racine dans l’arithmétique. D’autre part, l’entrée dans l’algèbre représente une double rupture épistémologique relativement à l’arithmétique (Vergnaud 1988).

Nous nous proposons dans ce paragraphe d’exposer certains résultats en rapport avec la mise en équation des problèmes, qui nous ont servis d’outils d’analyse des programmes et des manuels relativement à la pratique de mise en équation.

Vergnaud évoque cette rupture tant sur le plan outil, que sur le plan objet de l’algèbre. Celle-ci se manifeste d’une part, par une nouvelle conceptualisation du statut des lettres ainsi que des symboles et signes utilisés, d’autre part, par un changement dans les démarches de résolution de problèmes :

 « Alors que la résolution arithmétique d’un problème en langage naturel consiste à rechercher les inconnues intermédiaires dans un ordre convenable, et à choisir les données et les opérations adéquates pour calculer ces inconnues, l’algèbre consiste à écrire des relations explicites entre inconnues et données et à s’en remettre ensuite à des procédures de traitement relativement automatiques pour trouver la solution. »(Vergnaud, 1988, p259)

Le tableau suivant synthétise et illustre les discontinuités entre des démarches algébriques et non algébriques (arithmétique, ou par essai erreur)

Côté outil

Exemples

Arithmétique

Algèbre

Démarches de résolution inversées

Un père partage une somme de 1200D entre ses trois fils, il donne à Ali 3 fois plus qu’à Sami et 200 de moins à Imed qu’à Ali. Quelle est la part de chacun ?

connu -> inconnu

Diviser la somme totale par le nombre de parties  1200 : 3 = 400

D’où les parts respectives d’Ali, de Sami et Imed sont 400 + 200 ;400 - 200 et 400

inconnu -> connu

Soit x la part de Sami, alors

x + 3x + (3x-200) = 1200

la résolution de cette équation aboutit à x=200 donc la part de Imed est 400 et celle d’Ali est 600.

Techniques de résolution différentes

Trouver un nombre tel que son double ajouté à 15 donne 37.

Intuitive

essai erreur

2 x+15 = 37

on soustrait 15 de 37 et on trouve 22 c’est le double du nombre cherché.

Ce nombre est donc 11.

Formelle algorithmique

2 x + 15 =37 implique

2 x + 15-15 =37-15 implique

2 x = 22

2 x .1/2 =22 . 1/2 implique

x = 11

Côté objet

Exemples

Arithmétique

Algèbre

Appréhension des statuts des lettres

15 m qui peut signifier 15 fois l’inconnue désignée par m ou 15 mètres…

x :

étiquette

unité

x :

inconnue

variable

nombre généralisé

Appréhension de nouveaux objets

Ecriture fréquente chez les élèves

23 + 32 = 55 – 15 = 40 comme réponse à un problème donné. La symétrie et la transitivité du signe = sont violées, il est interprété comme : « ça donne… »

signe = comme annonce d’un résultat

signe = comme relation d’équivalence (symétrique et transitive)

Discontinuités entre des démarches algébriques et non algébriques

Gascon (1995) critique le modèle dominant dans l’enseignement de l’algèbre, à savoir l’identification de l’algèbre élémentaire à une arithmétique généralisée. Les pratiques algébriques seraient souvent à tort, interprétées comme un prolongement des pratiques arithmétiques. Voici les arguments mis en avant par cet auteur ; ceux-ci se rapprochent parfois des faits constatés par Vergnaud :

  • « l’arithmétique généralisée » n’est pas spécifique à un seul type de problème, elle touche à la résolution d’équations, la manipulation de fonctions élémentaires et à l’application de formules ;

  • les techniques de résolutions de certains problèmes arithmétiques peuvent s’avérer inefficace pour les dits « problèmes algébriques » ;

  • la procédure arithmétique tient généralement à l’idée de trouver un nombre qui répond au problème posé alors que les pratiques algébriques conduisent souvent en algèbre à une relation entre grandeurs ;

  • les symboles utilisés en algèbre différent selon le contexte dans lesquels ils sont employés ;

  • les signes et symboles n’ont pas le même sens dans le monde arithmétique ou dans les écritures algébriques, par exemple « = » a une constatation d’action en arithmétique, en algèbre on lui rajoute la relation d’équivalence.

Gascon souligne par ailleurs le fait que la caractéristique principale du traitement des problèmes algébriques, mise en avant par Viète lui-même, est l’introduction de la « représentation littérale » à des fins de désignation de quantités connues ou inconnues ce qui amène à traiter des cas généraux et à s’intéresser davantage à la structure des problèmes et à des questions attenantes aux pratiques de modélisation mathématique.

Les activités de « mise en équation » dans l’enseignement ne présentent pas souvent une véritable activité de construction de modèles1 mathématiques Coulange (2001), les énoncés de problèmes « concrets » proposés aux élèves sont en fait souvent des modèles « pseudo concrets » quasi mathématiques de telle situation.

Gascon (1995) base quant à lui, son étude des pratiques de modélisation algébrique, enseignées sur la technique d’étude d’analyse- synthèse (dit patron A/S), propre à la résolution arithmétique de problèmes. Cette technique comporte deux étapes :

  • un raisonnement régressif ou analyse qui part de l’objet inconnu et aboutit aux données du problème ;

  • un raisonnement progressif ou synthèse qui fait le chemin inverse.

Les recherches menées par Bednarz et Janvier (1996) ont montré que la structure des problèmes généralement proposés aux élèves influence la nature des raisonnements aboutissant à leur résolution. Ces chercheurs distinguent les problèmes « connectés » des problèmes « déconnectés ». Ils les définissent respectivement de la manière suivante :

Pour les problèmes connectés : « une relation peut facilement être établie entre deux données connues, induisant alors un raisonnement de type arithmétique s’articulant sur les données connues du problème pour aboutir en fin de processus à retrouver la donnée inconnue ».La technique d’ « Analyse –Synthèse » à laquelle Gascon (1995) fait référence, s’avère efficace dans la résolution de ces problèmes.

Pour les problèmes déconnectés, « aucun pont ne peut être établi a priori entre les données du problème ». Dans ce cas, la technique d’Analyse/Synthèse préalablement proposée par Gascon ne permet pas de résoudre ces problèmes : Il propose de l’étendre grâce à une nouvelle technique qu’il nomme « le patron reformulé », qui consiste à :

  • élargir le registre des données aux expressions symboliques et non plus aux seules données numériques (certaines données peuvent être représentées par des expressions algébriques) ;

  • remplacer l’analyse du patron A/S par une analyse auxiliaire qui met en relief les quantités exprimables de deux façons et une analyse reformulée qui consiste à produire ces expressions différentes à l’aide des expressions algébriques présentes dans les données « élargies » ;

  • remplacer la synthèse du patron A/S par une synthèse reformulée où il s’agit d’écrire l’expression symbolique et d’écrire les équations ou inéquations qui découlent des deux analyses auxiliaires et reformulées. (Gascon cité par Pressiat 1996, p, 23).

Le second centre d’intérêt pour l’analyse des rapports institutionnels (puis personnels) à la mise en équations a concerné le rôle joué par la dimension sémiotique, dans la représentation que les élèves se font du problème en phase de lecture :

Quelles difficultés langagières peuvent ressurgir dans la mise en équation d’un problème écrit ? Les élèves de 1ère année de l’enseignement secondaire Tunisien sont-ils plus affectés que d’autres par le changement de langue survenant dans la transition collège/lycée ?

La lecture d’un énoncé de problème en langage naturel est une étape fondamentale pour une compréhension de l’énoncé. La forme du texte peut influer sur la complexité de cette tâche : une complexité trop importante du texte, certains mots du vocabulaire, certaines tournures de phrases peuvent entraver la résolution du problème proposé et affecter la représentation qui en est faite.

Suivant Duval (1988), les problèmes de mise en équation renvoient aux situations où deux registres de représentations sémiotiques viennent s’articuler : le registre du langage naturel et celui des écritures algébriques. Or, selon Duval, pour que cette conversion entre deux registres soit possible, il faut qu’il y ait d’une part une maîtrise de chacun des registres en question, d’autre part, une coordination entre ces deux systèmes de représentations comme l’illustre le schéma ci-dessous.

Image1

Conversions dans la résolution algébrique d’un problème

Ce point de vue permet de considérer les difficultés qui peuvent être spécifiques au changement de la langue d’enseignement.

A part le fait que, la langue arabe d’enseignement se différencie du langage parlé ou courant, le passage de la langue française à la langue arabe rend difficile l’apprentissage de certaines notions mathématiques et complexifie davantage la modélisation des situations extra-mathématiques. Chacune fondement d’un système sémiotique ayant ses propres règles de signifiance et de fonctionnement, la traduction de l’une vers l’autre peut poser des difficultés de congruence sémantiques entre registres. Duval (1988) définit cette notion selon trois principaux critères :

  • la correspondance sémantique : à chaque unité signifiante de la représentation de départ correspond une unité signifiante dans la représentation d’arrivée ;

  • l’univocité sémantique : pour une unité signifiante, il ne correspond qu’une unité de la représentation de départ et il ne correspond qu’une unité de la représentation d’arrivée ;

  • la correspondance d’ordre dans l’arrangement des unités signifiantes composant respectivement les représentations.

La lecture des objectifs spécifiques (2002-2003) au thème « équation du premier degré à une inconnue », nous a renseigné sur les compétences exigibles pour chaque niveau, en particulier, les aspects de la compétence algébrique pris en compte par l’institution tunisienne : les types de tâches spécifiques prescrites et éventuellement les techniques suggérées et leur évolution dans la transition collège/ lycée. Il ressort de cette étude que :

  • la maîtrise de la dialectique entre le maniement formel des calculs algébriques et la connaissance des systèmes de nombres semble constituer l’objectif majeur de l’enseignement de l’algèbre au collège ;

  • l’introduction des équations au niveau du collège se fait d’une façon « pragmatique » au détriment d’une justification technologico-théorique des techniques algébriques de résolution ;

  • l’enseignement de l’algèbre au niveau de la 1ère année secondaire s’organise principalement autour de l’enseignement des équations et des systèmes d’équations dans une perspective de l’algèbre comme « outil » pour résoudre des problèmes intra et extra -mathématiques.

L’étude des manuels scolaires officiels ( 2002-2003) destinés aux élèves de la 7ème, 8ème et 9ème année de l’enseignement de base et celui de la 1ère année secondaire nous a permis de décrire l’organisation mathématique mise en place pour l’étude des équations du premier degré à une inconnue et de la mise en équation, et de suivre l’évolution des rapports institutionnels à ces objets de savoir à enseigner.

Nous résumerons dans le cadre de cet article, les principaux résultats obtenus à l’issu de cette étude.

Nous avons tout d’abord constaté des différences dans la nature épistémologique des problèmes « à mettre en équations », proposés aux élèves. Leurs structures impliquent qu’au niveau du collège, des techniques arithmétiques peuvent souvent être envisageables dans leur résolution. De ce fait, on peut considérer que le corpus de problèmes sur lequel se base l’enseignement de la mise en équation, ne montre pas la pertinence de l’outil algébrique dont l’emploi paraîtrait essentiellement lié au contrat didactique. Ceci nous a conduit à supposer la survivance de résolution non algébrique, même si à aucun moment de la scolarité les techniques arithmétiques (essais erreurs, partage inégal, substitution arithmétique) n’ont fait l’objet d’un enseignement explicite susceptible de convaincre les élèves de l’efficacité pratique et concrète d’outils algébriques tels que les équations. En revanche, à l’entrée au lycée, la fréquence des problèmes du premier degré de type déconnecté, mettant en jeu un choix d’inconnues et une diversité de relations en jeu, exige plus souvent des techniques essentiellement algébriques, préparant à leur tour à l’enseignement des systèmes d’équations.

Nous avons ensuite noté au niveau du collège, un déficit technologico-théorique concernant la résolution des équations du premier degré à une inconnue. L’étude de cet objet algébrique se trouve réduit à une liste de recettes techniques sans ossature conceptuelle. Par exemple, l’emploi systématique du terme « يعنى » dés la 8ème année de base vient sans aucune explicitation des règles de conservation des égalités. Il faut attendre la première année de lycée, pour qu’une justification technologico-théorique des techniques de résolution des équations apparaisse.

Au niveau du collège, cette résolution algébrique des problèmes est essentiellement « algorithmisée » selon un découpage de la technique en quatre phases (choix de l’inconnue, mise en équation, résolution de l’équation et interprétation du résultat) sans explicitation des techniques qui accompagnent ces sous-types de tâches. Alors qu’en première année ces techniques deviennent plus explicites et accompagnées d’un discours technologique qui donne les conditions d’emploi et les limites de validité de la technique mais l’organisation de l’étude montre l’absence de tâches spécifiques de traduction ou de formulation qui accompagnent le changement de langue dans cette transition.

A la lumière de ces analyses, nous avons mené une expérience auprès d’élèves de fin de collège et de 1ère année du secondaire en leur présentant des problèmes similaires à ceux qui leur sont présentés dans leur manuels afin de tester l’hypothèse fondamentale de notre recherche à savoir que les difficultés observables à l’entrée au lycée sont en grande partie liée aux différences institutionnelles perçues et notamment aux difficultés relatives au changement de langue d’enseignement. Nous avons deux versions du questionnaire : une version rédigée en langue arabe, destinée aux élèves de 9ème et une version rédigée en langue française, destinée aux élèves de 1ère année de secondaire et dont la traduction est conforme à celle adoptée par les concepteurs de programme .

L’analyse des productions recueillies suite à une analyse a priori a permis :

  • l’identification des démarches adoptées par les élèves de 9ème année et de 1ère année pour la résolution des problèmes proposés. L’analyse de ces procédures en fonction de l’analyse a priori a permis de saisir dans quelle mesure la structure des problèmes choisis a pu être un facteur explicatif de la variété des procédures impliquées dans la résolution ;

  • Une évaluation de l’efficacité des techniques de résolution mises en œuvre par les élèves qu’elles soient arithmétiques, ou bien algébriques ;

  • La mise en évidence de l’influence possible de la langue sur la compréhension des situations évoquées par ces problèmes et la représentation des liens et des informations stipulés dans les énoncés.

Nous présentons dans le cadre de cet article deux exemples qui illustrent ces analyses.

Exemple 1:

372 personnes travaillent dans une entreprise, il y a 4 fois plus d’ouvriers que d’employés et 18 employés de plus que de cadres. Combien y a t-il d’ouvriers, d’employés et de cadres ?

Ce problème de structure « déconnectée » n’a été réussi par aucun élève de 9ème et par une minorité en 1ère, le tableau suivant illustre ces résultats :

Technique arithmétique

Technique algébrique

Total

Réussite

Echec

Réussite

Echec

Réussite

Echec

9ème année de base

0

17

0

51

0

68

1ère année secondaire

0

20

13

42

13

62

Solutions arithmétiques

Nous avons constaté qu’un peu plus du quart des élèves a procédé arithmétiquement à la résolution. Les productions arithmétiques s’appuient systématiquement sur un raisonnement erroné, basé sur le partage égal, sans aucune vérification des résultats par un retour aux informations du texte (qui aurait permis d’invalider le résultat obtenu), par exemple :

  •    372/4 = 93 ouvriers ;

  •    le nombre de cadres est 93 + 18 = 111 ;

  •    le nombre d’employés est 372 – (111 + 93) = 168

Notons encore qu’il y a à nouveau plus d’élèves de 1ère que de 9ème ayant tenté de résoudre le problème par l’arithmétique.

Solutions algébriques

Une grande majorité (56 % en 1ère et 75% en 9ème) n’a pas réussi à transcrire correctement l’énoncé en équation, l’erreur récurrente que l’on a observée est l’équation :

372 = x + 4x + x+ 18

Celle-ci est en fait due au facteur de non congruence sémantique entre la phrase

18 employés de plus que de cadres et x - 18 ; avec x désignant le nombre d’ouvriers.

- Certains élèves ont eu du mal à concevoir la nature des liens qui unissent les parties

Nasri et Ramzi en 1ère écrivent :   x . 4 + 18 . y = 372

              Y = 4 – x et y = 18 – z

- D’autres, ayant voulu modéliser le problème par un système, ont été confronté à la difficulté de mettre en relations les trois inconnues prises comme des parties

Ghassen écrit  x = y . 4

        Y mise en équation : 2y + (y × 4 ) + 18y = 372

        Z = y + 18

 Adel écrit  4 + E + 18 +C+ C = 372

Nous avons remarqué l’échec complet des élèves de 9ème année dans cet exercice qui remet au premier plan l’activité de mise en équation dans des problèmes du type « déconnecté » et faisant appel à des relations de natures différentes entre grandeurs (relations multiplicatives et additives). Les similitudes entre certaines erreurs observées en 9ème et en 1ère permettent d’affirmer que l’influence du facteur « congruence sémantique » sur la résolution d’un tel problème est indépendante de la langue dans laquelle il est énoncé.

Le repérage d’une inconnue a été à nouveau plus problématique pour les élèves de 1ère que pour ceux de 9ème ainsi que la mise en relation des informations de l’énoncé. Ce qui laisse à nouveau penser à des difficultés plus grandes de la part des élèves du lycée à interpréter correctement le problème posé. Le fait que c’est également en 1ère qu’on relève un plus grand nombre de productions arithmétiques erronées « type partage égal » tend à confirmer cette incompréhension globale de l’énoncé.

Exemple 2 :

Un père a 26 ans, son fils a 5 ans.

Dans combien d’années l’âge du père serait-il le double de l’âge du fils ?

Une analyse quantitative, en termes de réussite et d’échec, des techniques mises en œuvre par les élèves, permet de montrer que 30% des élèves de 1ère année ont procédé par tâtonnement, en essayant de trouver des valeurs numériques qui correspondent aux conditions exigées, tandis que tous les élèves de 9ème se sont lancés dans une technique algébrique. Environ 21% des élèves du lycée se sont également abstenus de répondre.

Technique arithmétique

Technique algébrique

Réussite

Echec

Réussite

Echec

Non

Réponse

Total

Réussite

Echec

9ème année de base

0

0

28

40

0

28

40

1ère année secondaire

8

15

14

22

16

22

53

Solutions arithmétiques par essais-erreurs

En analysant de prés les productions des élèves de 1ère année qui se sont engagés dans de telles stratégies, nous constatons que nombre d’entre eux ont mal compris l’énoncé en faisant parfois des confusions dans les temps (présent/futur) employés dans l’énoncé ce qui les amène à répondre de manière superficielle à la question posée ou à tâtonner jusqu’à trouver des valeurs adéquates.

 Asma en 1ère par exemple écrit « Non l’âge du père n’est pas le double, il est plus que le double »

Hadhami et Lobna quant à elles ont écrit :

  • l’âge du père sera 26 + 5 + 5 = 36 ;

  • les années qu’il sera le double de son fils 36 – 26 = 10      

Remarquons la difficulté que ces élèves ont pour comprendre le texte et exprimer correctement leur réponse en français.

De plus, des confusions entre les termes double et triple apparaissent dans la procédure utilisée par Hanéne :  

  • (26 × 3) + (5 × 3) = 78 + 15 = 93 ;

  • 93/3 = 31.

D’autres ont procédé par essai erreurs sans pour autant se référer aux informations données dans l’énoncé et se sont uniquement rattachés au sens du mot « double » :

 « Le père aura 38 ans l’âge double de son fils, quand il aura 38 ans et son fils 19 ans »

Solutions algébriques

L’analyse quantitative de ce problème met en avant un pourcentage de réussite de la technique algébrique qui chute de 41% à 19%, ce qui a conduit à une étude fine des erreurs fréquemment commises par les élèves de première annéeafin d’expliquer au mieux la nature des difficultés qu’ils rencontrent.

L’analyse des productions des élèves de 1ère révèle que la plupart d’entre eux ont su choisir le nombre d’années comme inconnue mais n’ont pas su modéliser correctement pour mettre le problème sous forme d’équation.

Nous avons rencontré toute sorte de relation faisant intervenir l’inconnue x à savoir :

  • 26 – x = 2x (Karima );

  • 5x = ½ 26  (Marouane) ;

  • 5 + x = 26 × 2 (Amira) ;

  • x = 36 (Ramzi) ;

  • 26 + (5 × 2) = 36 ;

  • 2 (26 + x) = 5 + x (Sara) ;

  • x = 5.2 d’ou 5.2 × 5 = 26 (Nédia).

Certains élèves ont essayé de convertir l’énoncé en système d’équations à deux inconnues avec x et y désignant respectivement l’âge du père et celui du fils mais la traduction algébrique a été problématique pour tous ces élèves puisque aucun n’a réussi à traduire convenablement le système en question, en voici un exemple :

Bochra écrit

  • x 26 + y 5 = ¾

  • x + y = 31

Les relations établies révèlent d’une part l’incapacité à trouver le lien entre les informations décrites dans l’énoncé et la nature des relations algébriques à établir et d’autre part une maîtrise insuffisante du maniement formel des expressions littérales.

Dans la copie de Haythem nous avons retrouvé le même type d’erreur avec une confusion nette dans l’emploi des signes :  

  • 26 + x = (5 +y) × 2

  • 26x = 10 + 2y, 26 –2y = 10.

Encore une fois, les élèves de 1ère année secondaire se sont engagés massivement dans des solutions arithmétiques abandonnées par les élèves de 9ème. Les stratégies par essais-erreurs adoptées par ces élèves du lycée ont mené la majorité d’entre eux à un échec.

Par ailleurs, les difficultés constatées dans la mise en équation de cet énoncé, paraissent à nouveau plus accentuées à ce niveau d’enseignement. Pour ce problème, encore plus que pour les autres, le changement de langue a sans doute joué un rôle important : des confusions dans l’interprétation temporelle de la situation décrite semblent flagrantes.

Nous avons adopté la même méthodologie pour analyser les productions des élèves en réponses aux problèmes proposés et nous avons ainsi caractérisé de façon concrète l’influence des différences institutionnelles observées sur la construction de rapports personnels des élèves aux objets de savoirs algébriques considérés.

D’une part, La structure « déconnectée » des problèmes proposés semble conduire un bon nombre d’élèves de 9ème année de base à adopter des démarches arithmétiques pour les résoudre. Cela démontre que dans l’organisation mathématique mise en place au niveau du collège, la nature de ces problèmes conjuguée à l’absence d’explicitation de techniques algébriques implique la survivance de démarches arithmétiques jusqu’en 9ème. Cependant, ces démarches sont souvent vouées à l’échec (aucun enseignement spécifique à l’arithmétique élémentaire n’ayant été envisagé pour ce type de problème).

D’autre part, ces stratégies de résolution de nature arithmétique continuent à survivre en première année du secondaire de façon accentuée. Elles mènent cette fois un nombre non négligeable d’élèves à des succès occasionnels mais les raisons qui expliquent leur survivance semblent moins liées à la structure des problèmes, qu’à des effets de changement de langue. Nous avons mis en avant le fait que souvent ces élèves se réfugient dans ce type de raisonnement, suite à des difficultés dans la compréhension ou dans l’interprétation des énoncés. Des erreurs d’ordre linguistique (lexicales ou syntaxiques) sont d’ailleurs, apparues à travers les réponses des élèves soit au niveau de l’interprétation des informations et des liens évoqués par les situations proposées soit au niveau de l’écriture mathématique (rédaction).

Les analyses ainsi menées permettent de conclure que le changement de langue, peu pris en compte dans l’organisation mathématique enseignée, contribue jusqu’à un certain point à l’échec de la résolution algébrique de problèmes classiques du premier degré.



Bibliographie

BEDNARZ, N., JANVIER, C. (1996). Emergence and development of algebra as a problem-solving tool : continuities and discontinuities with arithmetic. In : Sutherland, R. (ed). Approaches to algebra, perspectives for research and teaching. Dordrecht : Kluwer Academic Publishers.

BEN NEJMA, S. (2004). La mise en équation en 1ère année de l’enseignement secondaire tunisien : transition collège/lycée. Mémoire de DEA en Didactique des mathématiques. Université de Tunis.

BOSCH, M ; CHEVALLARD, Y. (1999). La sensibilité mathématique aux ostensifs. Objet d’étude et problématique, Recherche en didactique des mathématiques, vol 19/1 (pp 77-123). La pensée sauvage, Grenoble.

CHEVALLARD Y. (1989). Le passage de l’arithmétique à l’algébrique dans l’enseignement des mathématiques au collège. 2ème partie : perspectives curriculaires : la notion de modélisation. Petit x, 19, 43-72.

COULANGE, J. (2001). Evolutions du passage arithmétique algèbre dans les manuels et les programmes du 20ème siècle. Contraintes et espaces de liberté pour le professeur. Petit x. 57, 61-78.Grenoble.

DOUADY, R. (1987). Jeux de cadres et dialectique outil objet, Recherches en didactique des mathématiques, Vol 7/2, 5-32 éd. La pensée sauvage, Grenoble.

DUVAL, R (1998). Ecarts sémantiques et cohérence mathématique. Annales de didactique et de sciences cognitives, Vol 1,7-25. IREM de Strasbourg.

GASCON, J. (1995). Un nouveau modèle de l’algèbre élémentaire comme alternative à l’arithmétique généralisée. Petit x, 37, 43-63.

Grugeon, B (1997) Conception et exploitation d'une structure d'analyse multidimensionnelle en algèbre élémentaire.. Recherches en didactique des mathématiques. Vol. 17. Num. 2. p. 167-209. La Pensée Sauvage éditions Grenoble.

VERGNAUD, G. (1988). Long terme et court terme dans l’apprentissage de l’algèbre. Actes du premier colloque franco-allemand de didactique, pp. 189-99.

Notes de bas de page


1 Un modèle mathématique comme étant une interprétation mathématique liée à une situation « réelle » ou à sa description en langage naturel, relativement à des questions que l’on se pose sur cette situation.

Pour citer cet article


Sonia Ben Nejma. «Les difficultés rencontrées dans la résolution algébrique des problèmes du premier degré». RADISMA, Numéro 5 (2010), 28 septembre 2010, http://www.radisma.info/document.php?id=879. ISSN 1990-3219




Agence universitaire de la Francophonie  

Revue électronique internationale publiée par l'ENS de Nouakchott en partenariat avec l'IUFM de l'Académie de Lyon, l'ENS de Rabat, la Faculté des Sciences et des Technologies de l'Education et de la Formation de l'Université Cheikh Anta Diop de Dakar avec le soutien de l'Agence universitaire de la Francophonie (AUF)
ISSN 1990-3219